阿基米德的浴缸可能经不起测量误差

《上帝掷骰子吗》没有直接断言王冠故事是虚构的。书中追问的是另一件事：维特鲁乌斯记下的排水法，在当时能不能测出足够大的差异。按照书里采用的宽松假设，掺入三成银以后，两次实验的水位差也只有 0.4 毫米，表面张力和气泡已经足以让这个差值无法辨认。

这使它成为 科学史上的神话 里很具体的一例。故事听上去符合原理，原理成立却不保证测量方案真的可行。书中随后用浮力定律给出另一种称量办法，估算出的重量差是 12.8 克，实验难度完全不同。

很少人不知道阿基米德量金冠的故事，这个传说并非空穴来风，它首先被记载于公元前1世纪罗马的建筑师维特鲁乌斯（Vitruvius）的著作中。根据记载，叙拉古的国王耶罗二世（Hiero Ⅱ）做了一个金冠要献给神 ，但他怀疑金匠私吞了一部分金子，而以同等质量的银子代替，便命阿基米德想办法在不破坏王冠的情况下测出它是否为纯金。阿基米德冥思苦想，终于在一次洗澡的时候，他发现浴缸里的水随着身体的浸入而不断溢出，于是突然恍然大悟，光着身子跳出浴缸，嘴里还叫着一种多里安方言：Eureka!（希腊文的Ｅüρηκα，意为“我找到了”）！这个词从此被作为灵感来临的象征，成为多少人梦寐以求的时刻。 阿基米德的方法是，把金冠扔进一个盛满水的桶中，测得溢出水的体积。然后把同等重量的纯金也扔进满水的桶中，得到溢出水的体积。如果金冠掺银的话，它的体积就要比同等重量的纯金要大，因此排出的水相应地便多。 这听上去当然无懈可击，不过稍作计算的话，很难想像阿基米德真的可以用这种方法来实际地解决问题。希腊时代的王冠其实就是“桂冠”，也就是像奥运会上那种用橄榄枝围一圈戴在头上的那种“花环”。从考古实物来说，目前出土的最大的王冠重714克，直径18.5厘米，为了简便，我们往宽里计算，假设阿基米德的王冠重1千克，直径20厘米好了。因为纯金的比重是19.3 g/cm3，所以1千克重的金子实占体积51.8cm3。现在假设金匠往王冠里掺了30%的银子，那么银子的比重是10.6 g/cm3，该王冠实占体积差不多是64.6cm3。 把王冠和纯金放进尽可能窄的桶里（王冠直径20cm，则桶口的面积最小是314cm^2），王冠能造成0.206cm的水位上涨，纯金则是0.165cm。相比之下，落差只有0.041cm，也就是0.4毫米！不要说阿基米德时代，就算在现代的中学里，要测出这样一个差值都是相当困难的！而且，任何其他因素，比如水的表面张力，水中的气泡等都能轻易地造成同等的误差，这造成了该方法实际上的不可行。 我们的计算还是宽松的：假如王冠再轻一点，掺的银子再少一点，或桶再大一点的话，差值就更加微小了。 “实践上的难度暂且不论，罗马建筑师的本意在于颂扬阿基米德的天才成就，然而这个检测方法却是异常拙劣的！更糟糕的是，这里面却没有用到阿基米德本人的伟大发现浮力定律！其实，如果想称颂阿基米德的话，我们有一种最简单的方法：直接用提秤，把王冠和在空气中同等重量的纯金同时放到水中去称量！因为王冠的体积大，受到的浮力相对也大，所以在水中王冠就会显得比金子要轻，提秤的这端会翘起！如果要使两者在水中保持平衡的话，我们需要在空气中重1012.8g的纯金才行，相对来说，12.8g的差距是容易测量的，我们甚至能从中轻易地得到掺银的比例。而最关键的是，这才是阿基米德伟大之处的真正体现：浮力定律！”

这里保存的是曹天元在书中的反算，维特鲁乌斯原文、王冠样本和现代复现实验目前还没有另外核对。

——收入 书架 · 思维模型